Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．

（1）求证：∠PAC＝∠ABC；

（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3

【解析】

（1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B+∠EAC=90°，∠PAC+∠EAC=90°即可解决问题；
（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM2=OC2-OM2=CF2-FM2构建方程即可解决问题；

（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．

∵AE是直径，

∴∠ACE＝90°，

∴∠EAC+∠E＝90°，

∵∠B＝∠E，

∴∠B+∠EAC＝90°，

∵PA是切线，

∴∠PAO＝90°，

∴∠PAC+∠EAC＝90°，

∴∠PAC＝∠ABC．

（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．

∵∠BCD＝90°，

∴BD是⊙O的直径，

∵OM⊥BC，

∴BM＝MC，，

∵OB＝OD，

∴OM＝CD＝1，

∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB， ，

∴∠BDF＝∠CDF，

∴∠ACB＝∠CDF，

∴，

∴AB＝CF＝2，

∵CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2，

∴x2﹣12＝（2）2﹣（x﹣1）2，

∴x＝3或﹣2（舍），

∴⊙O的半径为3．