Question

3．如图，直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，P为边BC上一点，PC=DC，PB=AB，PQ⊥AD于Q．
（1）如图1，连DP、AP，求证：DP⊥AP．
（2）如图2，E为AD的中点，连EP，当AB=2CD=2时，求tan∠PED的值；
（3）如图3，连AC交PD于F，连EF，当$\frac{AB}{DC}$=4，tan∠FEQ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由等边对等角可得：∠1=∠2，∠3=∠4，然后由三角形内角和定理及平行线的性质可得：∠2+∠3=90°，然后由平角的定义可得：∠DPA=90°，进而可得DP⊥AP；
（2）分别过点C与点P作CH⊥AB，PG⊥AB，垂足分别为：H、G，可得：四边形AHDC是矩形，四边形QAGP是矩形，进而可得：DC=AH，AD=CH，PG=AQ，然后由AB=2CD=2，可得CP=CD=1，BP=AB=2，AH=1，BH=1，BC=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH=2$\sqrt{2}$，进而可求AD=CH=2$\sqrt{2}$，然后由CH⊥AB，PG⊥AB，可得△BPG∽△BCH，然后由相似三角形的对应边成比例，可求PG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，进而可求AQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，然后由∠DPA=90°，E为AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得EP=$\frac{1}{2}AD$=DE=AE=$\sqrt{2}$，进而可求QE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，在Rt△PQE中，由勾股定理得：PQ=$\frac{4}{3}$，然后根据三角函数的定义可求tan∠PED=$\frac{PQ}{QE}=2\sqrt{2}$；
（3）延长AP与DC的延长线交于点G，由CD=CP，BA=BP，PQ∥DC∥AB，可得：∠BAP=∠BPA=∠APQ=∠CPG=∠G，进而可得：CP=CG=DC，然后由PQ∥DC，根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{QF}{DC}=\frac{AF}{AC}=\frac{PF}{GC}$，进而可得：QF=PF，然后由tan∠FEQ=2：3，即$\frac{QF}{QE}=\frac{2}{3}$，设QF=2x，则QE=3x，QP=4x，然后由射影定理得：DQ•AQ=PQ²，进而将AQ与DQ用x表示，由DC∥QP∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{DQ}=\frac{8x}{2x}=4$．

解答 解：（1）如图1，

∵PC=DC，PB=AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠C=180°，∠3+∠4+∠B=180°，
∴2∠2+2∠3+∠C+∠B=360°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠2+∠3+∠DPA=180°，
∴∠DPA=90°，
∴DP⊥AP；
（2）分别过点C与点P作CH⊥AB，PG⊥AB，垂足分别为：H、G，如图2，

可得：四边形AHDC是矩形，四边形QAGP是矩形，
∴DC=AH，AD=CH，PG=AQ，
∵AB=2CD=2，
∴CP=CD=1，BP=AB=2，
∴AH=1，BH=AB-AH=1，BC=CP+BP=1+2=3，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH=$\sqrt{B{C}^{2}-H{B}^{2}}$=$\sqrt{8}$=$2\sqrt{2}$，
∴AD=CH=2$\sqrt{2}$，
∵CH⊥AB，PG⊥AB，
∴PG∥CH，
∴△BPG∽△BCH，
∴$\frac{PG}{CH}=\frac{BP}{BC}$，
即：$\frac{PG}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$，
∴PG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴AQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵∠DPA=90°，E为AD的中点，
∴EP=$\frac{1}{2}AD$=DE=AE=$\sqrt{2}$，
∴QE=AQ-AE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△PQE中，由勾股定理得：
PQ=$\sqrt{P{E}^{2}-Q{E}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠PED=$\frac{PQ}{QE}=2\sqrt{2}$；
（3）延长AP与DC的延长线交于点G，如图3，

∵CD=CP，BA=BP，PQ∥DC∥AB，
∴∠CDP=∠CPD=∠DPQ，∠BAP=∠BPA=∠APQ=∠CPG=∠G，
∴2∠DPQ+2∠APQ=180°，CP=CG，
∴∠DPA=90°，DC=CG，
∵PQ∥DC，
∴$\frac{QF}{DC}=\frac{AF}{AC}=\frac{PF}{GC}$，
∴QF=PF，
在Rt△EQF中，
∵tan∠FEQ=2：3，
即$\frac{QF}{QE}=\frac{2}{3}$，
∴设QF=2x，则QE=3x，QP=4x，
∵∠APD=∠DQP=90°，
由射影定理得：DQ•AQ=PQ²，
∴（DE-3x）（AE+3x）=（4x）²，
∵AE=DE，
∴DE²-9x²=16x²，
∴DE=5x，
∴DQ=DE-EQ=2x，
AQ=AE+QE=DE+QE=8x，
∵DC∥QP∥AB，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{DQ}=\frac{8x}{2x}=4$．
∴当$\frac{AB}{DC}$=4时，tan∠FEQ=$\frac{2}{3}$．
故答案为：4．

点评 此题是四边形的综合题型，主要考查了直角梯形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是：适当的添加辅助线，借助平行线的性质解决问题．