Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）分别求AB，OE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=2，OE=．

【解析】

（1）根据AB是直径即可求得∠ADB=90°，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；

（2）根据三角函数的定义，即可求得BC，进而得到AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

（1）连接BD，OD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°．

又∵AB=BC，

∴AD=CD．

∵OA=OB，

∴OD∥BC．

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°．

∵OD∥BC，

∴∠ODE=∠DEC=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△CBD中CD，∠ACB=30°，

∴BC2，

∴AB=2，

∴ODAB=1．

在Rt△CDE中，CD，∠ACB=30°，

∴DECD．

在Rt△ODE中，OE．