Question

【题目】如图①②,A是半径为12cm的☉O上的定点,动点P从A出发,以2π(cm/s)的速度沿圆周逆时针运动,当点P回到A时立即停止运动.

(1)如图①,点B是OA延长线上一点,AB=OA,当点P运动时间为2s时,试证明直线BP是☉O的切线.

(2)如图②,当∠POA=90°时,求点P的运动时间.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当∠POA=90°时,点P运动的时间为3 s或9 s

【解析】

（1）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切；

（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的 14或 34，所以分两种情况进行分析.

（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：

当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA，

∵⊙O的周长为24πcm，

∴弧AP的长为⊙O周长的，

∴∠POA=60°；

∵OP=OA，

∴△OAP是等边三角形，

∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；

∵AB=OA，

∴AP=AB，

∵∠OAP=∠APB+∠B，

∴∠APB=∠B=30°，

∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，

∴OP⊥BP，

∴直线BP与⊙O相切；

（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，

设点P运动的时间为ts；

当点P运动的路程为⊙O周长的时，2πt=2π12，

解得t=3；

当点P运动的路程为⊙O周长的时，2πt=2π12，

解得t=9；

∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．