Question

如图，已知AB直径，P是直线AB上任一点，且∠DPB=∠EPB．
（1）当P在⊙O外时，求证：CD=EF，PC=PF；
（2）当P在⊙O内时，其它条件不变，画出图形，（1）中结论是否成立？若成立请证明，若不成立说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）证明：作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，连结OD、OE，如图，根据垂径定理得CM=DM，FN=EN，根据角平分线定理由∠DPB=∠EPB得到OM=ON，再证明Rt△ODM≌△OEN得到DM=NE，则Cd=EF，然后证明Rt△OPM≌△OPN得到PM=PN，则PM-CM=PN-FN，则PC=PF；
（2）先画出几何图形，与（1）证明的方法一样，可得到CD=EF，PC=PF．

解答：（1）证明：作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，连结OD、OE，如图，则CM=DM，FN=EN，

∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON，
在Rt△ODM和△OEN中

OM=ON OD=OE

，
∴Rt△ODM≌△OEN，
∴DM=NE，
∴CD=EF，
在Rt△OPM和△OPN中，

OP=OP OM=ON

，
∴Rt△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
∴PM-CM=PN-FN，
即PC=PF；
（2）解：（1）中结论成立．理由如下：
作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，连结OD、OE，如图

∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON，
在Rt△ODM和△OEN中

OM=ON OD=OE

，
∴Rt△ODM≌△OEN，
∴DM=NE，
∴CD=EF，
在Rt△OPM和△OPN中，

OP=OP OM=ON

，
∴Rt△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
∴CM-PM=FN-PN，
即PC=PF．

点评：本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线定理．