Question

【题目】某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量（万台）与本地的广告费用（万元）之间的函数关系满足．该产品的外地销售量（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示．

其中点为抛物线的顶点．

结合图象，求出（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系式；

求该产品的销售总量（万台）与本地广告费用（万元）之间的函数关系式；

如何安排广告费用才能使销售总量最大？

Answer 1

【答案】当时，；当时，； 见解析；本地广告费用为15万元，外地广告费用为25万元.

【解析】

（1）分段求解，当0≤t≤25时，已知顶点A坐标，设顶点式解析式，代入已知点（0,60）即可求解；当25＜t≤40时，y=122.5；

（2）由题意可得t=40-x，根据t的取值范围可确定x的取值范围为0≤x＜15、15≤x＜25、25≤x≤40，则y=y1+y2，按照x的范围分别求解.

（3）由上述所求表达式分别计算每段函数的最大值，再取三个数值中的最大值即可.

由函数图象可知，

当时，函数图象为抛物线的一部分，

设解析式为，

把代入解析式得，

；

当时，

；

由题意可得t=40-x，根据t的取值范围得：

时，；

时，；

时，

．

时，最大y=3×15+122.5=167.5，

时，最大y=-0.1×625+122.5=60，

时，最大y=-0.1×625+125=62.5，

故当x=15时，y值最大，

故，本地广告费用为15万元，外地广告费用为25万元.