Question

【题目】如图，在ABCD中，，，，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的交BC于点F．

（操作与发现）

当E运动到处，利用直尺与规作出点E与点F；保留作图痕迹

在的条件下，证明：．

（探索与证明）

点E运动到任何一个位置时，求证：；

（延伸与应用）

点E在运动的过程中求EF的最小值．

Answer 1

【答案】作图见解析；证明见解析；证明见解析； EF最小值为.

【解析】

当，此时AC是的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出即可作出点E、F；

易知AC为直径，则，，从而得证；

如图，作，，若E在DN之间，由可知，，然后再证明∽，从而可知，若E在CN之间时，同理可证；

由于A、F、C、E四点共圆，所以，由于四边形ABCD为平行四边形，，从而可证为等腰直角三角形，所以，由于，所以E与N重合时，FE最小．

如图1所示，

如图，易知AC为直径，则，

则，

，

如图，作，，若E在DN之间

由可知，

、F、C、E四点共圆，

，

，

，

，

∽

，

若E在CN之间时，同理可证

、F、C、E四点共圆，

，

四边形ABCD为平行四边形，，

，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

与N重合时，FE最小，

此时，

在中，，则

由勾股定理可知：

此时EF最小值为.