Question

17．如图，MN是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，且AB⊥MN于点C．
（1）求证：∠OBN=∠A；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，MC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠OBN=∠N，由于∠N=∠A，等量代换得到∠OBN=∠A；
（2）由MN是⊙O的直径，且AB⊥MN于点C，于是得到BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）证明：∵ON=OB，
∴∠OBN=∠N，
∵∠N=∠A，
∴∠OBN=∠A；
（2）解：∵MN是⊙O的直径，且AB⊥MN于点C，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
设⊙O的半径为r，则OB=OM=r，OC=OM-MC=r-2，
∵OB²=CB²+OC²，
∴r²=（2$\sqrt{3}$）²+（r-2）²，
∴r=4，
∴⊙O的半径=4．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．