Question

5．为满足市场需求，某超市在春节来临前夕，购进一种品牌汤圆，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出350盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当毎盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种汤圆的每盒售价不得高于35元．如果超市想要每天获得不低于3000元的利润，那么超市每天至少销售汤圆多少盒？

Answer 1

分析 （1）根据“当售价定为每盒25元时，每天可以卖出350盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒汤圆所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种汤圆的每盒售价不得高于35元，且每天销售汤圆的利润不低于3000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

解答 解：（1）根据题意，y=350-10（x-25）=-10x+600；
（2）每天销售的利润P=（x-20）（-10x+600）=-10x²+800x-12000=-10（x-40）²+4000，
∴当x=40时，P取得最大值，最大值为4000，
答：当毎盒售价定为40元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是4000元；
（3）根据题意得，-10（x-40）²+4000=3000，解得：x=30或x=50，
∴当30≤x≤50时，每天的销售利润不低于3000元，
又∵x≤35，
∴30≤x≤35，
在y=-10x+600中，y随x的增大而减小，
∴当x=35时，y_最小值=-10×35+600=250，
即超市每天至少销售汤圆250盒．

点评 本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒汤圆所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．