Question

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点p在BD上移动，当PB=

 

时，△APB和△CPD相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：分类讨论

分析：设出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．

解答：解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
则

AB

PD

=

6

14-x

，
即

6

14-x

=

x

4

，
变形得：14x-x²=24，即x²-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，
则

AB

CD

=

BP

DP

，
即

6

4

=

x

14-x

，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．
故答案为：8.4cm或12cm或2cm．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．