Question

8．如果函数y=（a-1）x²+3x+$\frac{a+5}{a-1}$的图象经过平面直角坐标系的四个象限，求a的取值范围．

Answer 1

分析 函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（Ⅰ）函数是二次函数；
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点；
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号．

解答 解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（I）函数是二次函数．因此a-1≠0，即a≠1①；
（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9-4（a-1）$\frac{a+5}{a-1}$=-4a-11＞0，解得a＜-$\frac{11}{4}$②；
（III）两个交点必须要在y轴的两侧．因此$\frac{a+5}{（a-1）^{2}}$＜0，解得a＜-5③；
综合①②③式，可得：a＜-5．

点评 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．