如图1.在平面直角坐标系中.二次函数y=ax2-2x+2的图象与y轴交于点C.以OC为一边向左侧作正方形OCBA.点B刚好落在抛物线上．(1)求a的值,(2)若点D在二次函数y=ax2-2x+2的图象的对称轴上.点E在二次函数y=ax2-2x+2的图象上.是否存在以B.C.D.E四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在.请直接写出所有满足条件的点E的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．
（1）求a的值；
（2）若点D在二次函数y=ax²-2x+2的图象的对称轴上，点E在二次函数y=ax²-2x+2的图象上，是否存在以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①在旋转过程中，当点A₁落在二次函数y=ax²-2x+2的图象对称轴上时，求出此时的点B₁的坐标．
②在旋转过程中，当点B₁落在二次函数y=ax²-2x+2的图象对称轴上时，边OA₁与对称轴交于点F，求出此时的点F的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点C的坐标，再根据正方形的边长相等，得出点B的坐标，代入y=ax²-2x+2，即可得出a的值．
（2）分两种情况求解：①当点E在抛物线顶点时；②当BC∥DE，且DE=BC=2时，即可求出答案；
（3）①由点A₁落在二次函数对称轴上，OA₁=2，可得出∠A₁OA=60°，进而得出∠BOB₁=60°，求出∠B₁OC=15°，利用三角函数表示点B₁的坐标即可；
②设F（-1，m），由△A₁B₁F∽△HOF得出A₁F=2m，由OB₁=OB=2

得出B₁H=

，在Rt△A₁B₁F中由勾股定理A₁F²+A₁B₁²=B₁F²，列出方程（2m）²+2²=（

-m）²求出m的值，即可得出点F的坐标．

解答：解：（1）二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∵以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．
∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax²-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1
（2）①当点E在抛物线顶点时，
∵二次函数的解析式为y=-x²-2x+2．
∴E（-1，3）
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴当E（-1，3）以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形
②当BC∥DE，且DE=BC=2时，
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴D的横坐标为-1，
∴设点E的横坐标为t，则有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．
∴E（-3，-1）或（1，-1）
综上所述：当点E的坐标为（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形．
（3）①如图1，

∵点A₁落在二次函数对称轴上，OA₁=2
∴∠A₁OA=60°，
∴∠BOB₁=60°，
∴∠B₁OC=60°-45°=15°，
∵OB₁=OB=2

，
∴B₁（2

sin15°，2

cos15°），
②如图2，

设F（-1，m）
∵△A₁B₁F∽△HOF
∴

A1F

A1B1

，
∴

A1F

，
∴A₁F=2m
OB₁=OB=2

B₁H=

OB12-OH2

，
在Rt△A₁B₁F中
A₁F²+A₁B₁²=B₁F²
（2m）²+2²=（

-m）²
m₁=

，m₂=-4-

-4-

（舍去）
∴F（-1，

）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是灵活掌握三角函数及相似三角形的运用．

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