Question

【题目】如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，AB边上的中垂线DE分别交AB，AC于点D、E，∠BAC的平分线交DE于点F．连接BF、CF、BE．

（1）求证：△BCF为等边三角形；

（2）猜想EF、EB、EC三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图2，在BE的延长线上取一点M，连接AM，使AM=AB，连接MC并延长交AF的延长线于点M．求证：AN=MC．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BE=EF+EC，理由详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）先根据角平分线定义得：∠BAF=∠CAF=15°，根据等腰三角形性质得：∠ABC=

∠ACB=75°，计算∠FBC=60°，由中垂线的性质得：AF=BF，证明△BAF≌△CAF（SAS），

可得BF=CF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得结论；

（2）如图1，作辅助线，构建等边三角形EFG，证明△BFG≌△CFE，可得BG=EC，可得：

BE=BG+EG=EF+EC；

（3）如图2，设AE=x，分别计算∠CAM=90°，∠NAH=60°，∠ANH=30°，可得

，可得结论．

证明：（1）如图1，∵∠BAC=30°，AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF=15°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵DE是AB的中垂线，

∴AF=BF，

∴∠BAF=∠ABF=15°，

∴∠FBC=75°﹣15°=60°，

在△BAF和△CAF中，

∵

∴△BAF≌△CAF（SAS），

∴BF=CF，

∴△BCF是等边三角形；

（2）猜想：BE=EF+EC，

如图1，在BE上截取EF=FG，

∵DE是AB的中垂线，

∴AE=BE，

∴∠BED=∠AED=60°，

∴△FGE是等边三角形，

∴∠GFE=60°，EF=EG，

∵∠BFC=60°，

∴∠BFG=∠CFE，

在△BFG和△CFE中，

∵

∴△BFG≌△CFE，

∴BG=EC，

∴BE=BG+EG=EF+EC；

（3）如图2，∵∠ABE=∠BAE=30°，

∴∠AEM=60°，

∵AB=AM，

∴∠ABE=∠AMB=30°，

∴∠EAM=90°，

设AE=x，则EM=2x，

∵AB=AC=AM，

∴△ACM是等腰直角三角形，

∴

∠AMC=45°，

过A作AH⊥MN于H，

∴△AMH是等腰直角三角形，

∴

∵AC=AM，AH⊥CM，

∴∠CAH=45°，

∵∠NAC=∠BAC=15°，

∴∠NAH=15°+45°=60°，

∴∠ANH=30°，

∴

∴AN=CM．