Question

7．如图所示，四边形ABCD为矩形（对边相等，四个角是直角），过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，在BE上取一点F，使DF=EF=4．设AB=x，AD=y，求代数式$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$的值．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4-x，由勾股定理求出DF，即可得出代数式$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$的值．

解答 解：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4-x，
在Rt△CDF中 $DF=\sqrt{C{D^2}+C{F^2}}=\sqrt{{x^2}+{{（4-y）}^2}}=4$，
∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$=$\sqrt{{x^2}+{{（y-4）}^2}}=4$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，证出DF=BF是解决问题的关键．