Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；

（2）根据正方形的判定和性质解答即可．

（1）∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四边形AEBO是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB．

∵OE=CD，

∴OE=AB，

∴平行四边形AEBO是矩形，

∴∠BOA=90°，

∴AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）正方形，面积为2；理由如下：

过点B作OE的垂线段BF交OE于点F

因为OE＝CD＝AD＝2，

所以矩形AOBE的面积为2x0E:BF＝2BF

当AB与OE垂直时，BF长达到最大值，

即AB长的一半，此时矩形的面积为2

当AB与0E垂直时平行四边形ABCD是正方形..