Question

【题目】给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”．

请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：

在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）．

（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　 　；“开距离”为　 　；

（2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”；

（3）⊙M的圆心为M（m，﹣6），半径为1，若⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）12，20；（2）2或2或2；（3）当m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1．

【解析】

（1）由点的坐标画出图形，由“闭距离”和“开距离”的定义可求解；

（2）分四种情况讨论，求出点E，点F坐标，即可解；

（3）分点M在y轴左侧和右侧讨论，找到特殊点，即可求解．

解：（1）如图所示：

∴线段AB和线段CD的“闭距离”为12，“开距离”＝，

故答案为：12，20；

（2）∵线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，

∴点E坐标为（4，0）或点E（8，0）或点F（0，6）或点F（0，10）

当点E坐标为（4，0）时，

∴0＝﹣×4+b，

∴b＝3，

∴点F（0，3），

∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝，

当点E坐标为（8，0）时，

∴0＝﹣×8+b，

∴b＝6，

∴点F（0，6），

∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝，

当点F坐标为（0，6）时，

∴b＝6，

∴y＝﹣x+6，

∴点E（8，0），

∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝，

当点F坐标为（0，10）时，

∴b＝10，

∴y＝﹣x+10，

∴点E（，0）

∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝，

（3）如图，设直线y＝﹣6与AB交于点N，交AC于点E，

∵M（m，﹣6），半径为1，

∴当点M在y轴左侧时，MN＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，

∴m＝﹣8或﹣4，

当点M在y轴右侧时，ME＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，

∴m＝6+或6﹣3，

∴当m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1．