Question

【题目】等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点，点C在第三象限，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

（1）若A（0，1），B（2，0），画出图形并求C点的坐标；

（2）若点D恰为AC中点时，连接DE，画出图形，判断∠ADB和∠CDE大小关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析，C（﹣1，﹣1）；（2）∠ADB=∠CDE．理由见解析．

【解析】

（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证明△ACF≌△BAO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△BAD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论．

解：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，如图1所示：

，

∴∠AFC=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，

∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△BAO中，

∵，

∴△ACF≌△BAO（AAS），

∴CF=OA=1，AF=OB=2，

∴OF=1，

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）∠ADB=∠CDE．理由如下：

证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，如图2所示：

，

∴∠ACG=∠BAC=90°，

∴∠AGC+∠GAC=90°．

∵∠CAG+∠BAO=90°，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△BAD中，

，

∴△ACG≌△BAD（AAS），

∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠CGE，

∴∠ADB=∠CDE．