Question

【题目】如图，已知在矩形中，，，是线段边上的任意一点（不含端点、），连接，过点作交于．

在线段上是否存在不同于的点，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

当点在上运动时，对应的点也随之在上运动，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当是的中点时，满足条件的点不存在．当不是的中点时，总存在这样的点满足条件，此时；（2）的取值范围是．

【解析】

（1）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得APPD=AECD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQQD=AEDC，则APPD=AQQD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系．（2）由于BE的最大值为AB的长即2，因此只需求得BE的最小值即可；设AP=x，AE=y，在（1）题中已经证得APPD=AECD，用x、y表示出其中的线段，即可得到关于x、y的函数关系式，根据函数的性质即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范围．

假设存在这样的点；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

同理可得；

∴，即，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴

∵，

∴，即不能是的中点，

∴当是的中点时，满足条件的点不存在．

当不是的中点时，总存在这样的点满足条件，此时．

设，，由可得，

∴，

∴当（在范围内）时，；

而此时最小为，

又∵在上运动，且，

∴的取值范围是．