Question

【题目】如图1，在△ABC中，ABAC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF∠A，另一边EF交AC于点F．

（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；

（2）当D为AB中点时，四边形ADEF的形状为 （直接写出结论）；

（3）延长图1中的DE到点G，使EGDE，连接AE，AG，FG，得到图2．若ADAG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；

（2）根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；

（3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．

（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，

∵∠DEF=∠A，

∴∠DEF=∠BDE，

∴AD∥EF，又∵DE∥AC，

∴四边形ADEF为平行四边形；

（2）解：ADEF的形状为菱形，

理由如下：∵点D为AB中点，

∴AD=AB，

∵DE∥AC，点D为AB中点，

∴DE=AC，

∵AB=AC，

∴AD=DE，

∴平行四边形ADEF为菱形，

故答案为：菱形；

（3）四边形AEGF是矩形，

理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，

∴AF∥DE，AF=DE，

∵EG=DE，

∴AF∥DE，AF=GE，

∴四边形AEGF是平行四边形，

∵AD=AG，EG=DE，

∴AE⊥EG，

∴四边形AEGF是矩形．