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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是AC上一点,过P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD.(设AP=x)

(1)若点E落在边BC上,求AP的长;

(2)当AP为何值时,△EDB为等腰三角形.

【答案】(1)AP的长为

(2)当AP=时,△EDB为等腰三角形.

【解析】解:(1)由题意,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10

∵ AP=DE=x,∴AD=PE=x,PD=x,

点E落在边BC上,PE∥AB,∴=,∴=

∴ x=

(2)∵△EDB为等腰三角形

①若DE=EB(如图)作EM⊥AB于M,则DM=DB=PE=AD=

x=,∴ x=,∴AP=

②若BD=DE(如图)

x=10-x,解之x=,∴AP=。③若BE=BD(如图)

∵DE∥AC, ∴DE⊥BC,

又∵BE=BD ∴DN=DE=AP=x

∵Rt△ADP∽Rt△DNB

,∴,∴x=,∴AP=

综上,当AP=时,

△EDB为等腰三角形.

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