Question

如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AD与x轴平行，且边BC，边AD与二次函数y=-x²+bx+c的图象分别交于点E、F和点A、G，其中点A的坐标为（1，2），点E的坐标为（2，m），链结AE，tan∠BAE=

1

2

．
（1）求m的值及二次函数的解析式；
（2）求出sin∠EAF的值；
（3）设图象的顶点为M，联结ME、MB，若△MFC与△MEB相似，试求点C的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,勾股定理,矩形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）在Rt△ABE中运用三角函数可求出m的值，然后运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点E作EH⊥AF于点H，如图1．运用勾股定理可求出AE、AF的值，然后在△AEF中运用面积法可求出EH的值，就可解决问题；
（3）过点M作MN⊥EF于N，如图2．易得点M（

5

2

，

17

4

），求出MN，由对称性可得ME=MF，根据等腰三角形的性质可得EN=NF=

1

2

，然后运用勾股定理可求出ME、MF，由ME=MF可得∠MEF=∠MFE，则有∠MEB=∠MFC．据此△MFC与△MEB相似可分两种情况（①若△MFC∽△MEB，②若△MFC∽△BEM）讨论，然后只需运用相似三角形的性质求出FC，就可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°．
∵A的坐标为（1，2），点E的坐标为（2，m），
∴BE=2-1=1，AB=m-2．
在Rt△ABE中，
∵tan∠BAE=

BE

AB

=

1

2

，
∴

1

m-2

=

1

2

，
解得：m=4，
∴点E的坐标为（2，4）．
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点E（2，4）、点A（1，2），
∴

-4+2b+c=4 -1+b+c=2

，
解得：

b=5 c=-2

，
∴二次函数的解析式为y=-x²+5x-2；

（2）过点E作EH⊥AF于点H，如图1．
当y=4时，-x²+5x-2=4，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴点F的坐标为（3，4），
∴EF=1．BF=3-1=2，
∴AF=

AB2+BF2

=

22+22

=2

2

．
∵S_△AEF=

1

2

EF•AB=

1

2

AF•EH，
∴EH=

EF•AB

AF

=

1×2

2 2

=

2

2

．
在Rt△ABE中，
AE=

AB2+BE2

=

22+12

=

5

，
在Rt△AHE中，
sin∠EAH=

EH

AE

=

2 2

5

=

10

10

．

（3）过点M作MN⊥EF于N，如图2．
由y=-x²+5x-2=-（x-

5

2

）²+

17

4

可得点M（

5

2

，

17

4

），
∴MN=

17

4

-4=

1

4

．
由对称性可得ME=MF，
∴EN=NF=

1

2

EF=

1

2

，
∴ME=MF=

MN2+NF2

=

( 1 4 )2+( 1 2 )2

=

5

4

．
∵ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠MEB=∠MFC．
①若△MFC∽△MEB，
则

FC

EB

=

MF

ME

=1，
∴FC=EB=．
∵点F的坐标为（3，4），
∴点C的坐标为（3+1，4）即（4，4）；
②若△MFC∽△BEM，
则

FC

EM

=

MF

BE

，
∴FC•BE=MF•EM，
∴FC×1=

5

4

×

5

4

，
∴FC=

5

16

．
∵点F的坐标为（3，4），
∴点C的坐标为（3+

5

16

，4）即（

53

16

，4）．
综上所述：点C的坐标为（4，4）或（

53

16

，4）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，有一定的综合性，构造Rt△AHE是解决第（2）小题的关键，运用相似三角形的性质及分类讨论是解决第（3）小题的关键．