Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．

（1）试探究BF与AF位置关系，并说明理由；

（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请给予证明．

Answer 1

【答案】（1）互相垂直（2）60°

【解析】试题分析：（1）利用SAS可证得两△ABC≌△ABF，从而得∠AFB=∠ACB=90°，即可作出判断；

（2）若四边形ADFE为菱形，则四条边相等，因为EF=AE，AE=AF，所以△EAF为等边三角形，所以∠E=60°，所以∠CAB=∠E=60°．当∠CAB=60°时，可证AE∥FD，四边形ADFE是邻边相等的平行四边形，所以是菱形．

试题解析：（1）BF与AF位置关系为互相垂直，

理由如下：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中， ，

∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF与AF位置关系为互相垂直；

（2）若四边形ADFE为菱形，则四条边相等，两组对边分别平行，∵EF=AE，AE=AF，

∴△EAF为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠CAB=∠E=60°．

∴当∠CAB等于60度时，四边形ADFE为菱形．

证明如下：当∠CAB=60°时，∠FAB=60°，∠E=∠EFA=60°，∴∠EAF=∠AFD=60°，

∴AE∥FD，∵EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形，又∵AE=AD，

∴四边形ADFE是邻边相等的平行四边形即菱形．