Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；

（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）∵抛物线过，

∴

∴

∴

（2）设，将点代入

∴

过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F

设点，则

由铅垂定理可得

∴面积最大值为

（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x1＝（x＋2）25，

则平移后的抛物线表达式为：y＝x25，

联立上述两式并解得：，故点C（1，4）；

设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；

①当BC为菱形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），

即2＋1＝s且m＋3＝t①或21＝s且m3＝t②，

当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，

当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，

联立①③并解得：s＝1，t＝2或4（舍去4），故点E（1，2）；

联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4）；

②当BC为菱形的的对角线时，

则由中点公式得：1＝s2且41＝m＋t⑤，

此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，

联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝3，

故点E（1，3），

综上，点E的坐标为：（1，2）或或或（1，3）．

∴存在，