Question

11．实验探究：
（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=60°；
②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD=60°；

（2）猜想证明：
如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：
请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数；
②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F₁、F₂、…、F₉，
若∠BDC=120°，∠BF₃C=64°，则∠A的度数为40°．

Answer 1

分析 （1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°-（180°-∠BDC）=∠BDC，
（3）应用（2）的结论即可求得．

解答 解：（1）动手操作：
①∵BC∥EF，
∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACD=60°-45°=15°，
∴∠ABD+∠ACD=60°；
②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A=60°．
故答案为60°；60°；
（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC；
证明：连接BC，
在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-（180°-∠BDC）=∠BDC，
即：∠A+∠B+∠C=∠BDC．
（3）灵活应用：
①由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，
∵∠BAC=40°，∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=120°-40°=80°
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ABE+∠ACE=40°，
∴∠BEC=40°+40°=80°；
②由（2）可知：∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°，∠ABF₃+∠ACF₃=∠BF₃C=64°，
∵∠ABF₃=$\frac{3}{10}$∠ABD，∠ACF₃=$\frac{3}{10}$∠ACD，
∴ABD+∠ACD=120°-∠A，∠A+$\frac{3}{10}$（∠ABD+∠ACD）=64°，
∴∠A+$\frac{3}{10}$（120°-∠A）=64°，
∴∠A=40°，
故答案为40°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图性是解题的关键．