如图.△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形.已知G是边AB上的一个动点.且GE∥AC.GF∥BC.若AG=x.S△GEF=y．(1)求y与x的函数关系式.并写出函数定义域,(2)点G在运动过程总.能否使△GEF成为直角三角形?若能.请求出AG长度,若不能.请说明理由,(3)点G在运动过程中.能否使四边形GFEB构成平行四边形?若能.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．如图，△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A，B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG=x，S_△GEF=y．

（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）点G在运动过程总，能否使△GEF成为直角三角形？若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；
（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形？若能，直接写出S_△GEF的值；若不能，请说明理由．

分析（1）依题意，得：△AFG、△BEG为等边三角形，所以有FG=AG=x，EG=BG=2$\sqrt{3}$-x，∠EGF=60°，由三角形的面积定理即可得到y与x的函数关系式；
（2）由（1）知∠EGF=60°，需分类讨论：∠EFG=90°，∠FEG=90°，两种情况，由含30°的直角三角形的性质即可求出结论；
（3）若四边形GFEB构成平行四边形时，易证△AFG，△BEG，△CEF，△EFG是全等的等边三角形，易求S_△GEF．

解答解：（1）∵△ABC是等边三角形，GF∥BC，
∴∠AGF=∠B=60°，
∴△AFG是等边三角形，
同理△BEG为等边三角形，
∴FG=AG=x，EG=BG=2$\sqrt{3}$-x，∠EGF=60°，
y=$\frac{1}{2}x（2\sqrt{3}-x）sin60°$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$，定义域：（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）若∠EFG=90°，又∠EGF=60°，所以，有x=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
若∠FEG=90°，则$\frac{1}{2}x=2\sqrt{3}-x$，解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以，能使△GEF成为直角三角形，AG的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（3）若四边形GFEB构成平行四边形时，
由（1）△AFG和△BEG为等边三角形，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠EFG=∠FEG=60°，
∴△EFG为等边三角形，
∴EF=FG=AG=GB=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∴S_AGEF=$\frac{1}{2}FG•EGsin60°$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形的面积定理，平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，能灵活应用这些性质是解题的关键，同时注意分类思想的应用．

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