Question

14．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此抛物线的解析式；
②由条件可知点D的坐标是（0，4），若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；
②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形的性质求解．

解答 解：（1）①∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；           
②设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵B（8，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线BD解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4．           
设M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），
如图1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．
∴ME=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{1}{4}$x²+x+8．          
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_D）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；           

（2）如图2，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x²+bx+c（c＜0），
∵OC=-c，OA=-x₁=-$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$，OB=x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$，
∴$\frac{OD}{-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{-c}$，且x₁x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$•$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$=$\frac{{b}^{2}-{b}^{2}+4c}{4}$=c，
∴OD=$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}}{-c}$=1，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解题的关键是熟悉待定系数法求解析式，直角三角形的判定及性质，图形面积计算，三角形相似的判定和性质，二次函数的系数与x轴的交点的关系等知识点，综合性较强，有一定的难度．