Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，过点P作PQ⊥BC于点Q，当PQ﹣PH最大时，点C关于x轴的对称点为点D，点M为直线BC上一动点，点N为y轴上一动点，连接PM、MN，求PM+MN+ND的最小值；

（2）如图2，连接AC，将△OAC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的△OAC为△OA'C'，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．当点A'刚好落在线段AC上时，将△OA'C'沿着直线BC平移，在平移过程中，直线OC'与抛物线对称轴交于点E，与x轴交于点F，设点R是平面内任意一点，是否存在点R，使得以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，10)或(，﹣)或(3，﹣)

【解析】

（1）PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，当x＝4时，PH最大，即PQ﹣PH最大，此时点P（4，3）；过点D作直线DH∥BC，则∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，过点P作PH⊥DH于点H，则此时，PM+MN+ND的最小，即可求解；

（2）分BF是边、BF为对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

令x=0，则y=6；

令y=0，则，解得：，；

∴点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，6），

由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，

∴∠HPQ＝∠OBC，则tan∠HPQ＝tan∠OBC＝＝tanα，

则sinα＝，cos，

PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，

而PH＝y＝＝，

当x＝4时，PH最大，即PQ﹣PH最大，

此时点P（4，3）；

过点D作直线DH∥BC，则∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，

过点P作PH⊥DH于点H，则此时，PM+MN+ND的最小，

则HD＝DNsin∠NDH＝DNcosα＝，

则PM+MN+ND＝PM+MN+HN＝PH，即此时PM+MN+ND的最小，

直线PH⊥HD，则直线PH表达式中的k值为：，

由k值和点P的坐标得：直线PH的表达式为：y＝x，故点N（0，0），

HN＝NDcosα＝6×＝，PN＝PO＝5，

PH＝5+＝，

即PM+MN+ND的最小值为：；

（2）OA＝OA′＝2，

过点A′作A′H⊥x轴于点H，tan∠A′AO＝＝3＝tanβ，

设AH＝x，则A′H＝3x，OH＝2﹣x，

由勾股定理得：22＝（3x）2+（2﹣x）2，

解得：x＝，故点A′（﹣，），

则直线OA′的表达式为：y＝﹣x，

OA′⊥C′O，则直线OC′的表达式为：y＝x，

设直线OC′向右平移了m个单位，则直线OC′的表达式为：y＝（x﹣m），

抛物线的对称轴为：x＝3，

则点F（m，0），点E（3，4﹣m），而点B（8，0）；

①当BF是边时，

则BF＝ER＝8﹣m，则点R（3+8﹣m，4﹣m），

由BR＝FR得：（8﹣m）2＝（3﹣m）2+（4﹣m）2，

解得：m＝﹣或，

故点R（，10）或（，﹣）；

②当BF为对角线时，

则点R（3，m﹣4），

由FR＝BR得：（m﹣3）2+（m﹣4）2＝52+（m﹣4）2，

解得：m＝8（舍去）或﹣2，

故点R（3，﹣）；

综上所述，点R的坐标为：（，10）或（，﹣）或（3，﹣）．