Question

已知：如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点P在边AC上，且AP=

1

2

AB，联结BP，以BP为一边作△BPQ（点B、P、Q按逆时针排列），点G是△BPQ的重心，联结BG，∠PBG=∠BCA，∠QBG=∠BAC，联结CQ并延长，交边AB于点M．设PC=x，

MQ

MC

=y．
（1）求

BP

BQ

的值；
（2）求y关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）延长BG，交边PQ于点D，延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，先证出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再证出△BPE∽△CBA，得出

BP

PE

=

BC

AB

=

5

4

，即可证出

BP

BQ

=

5

4

；
（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，证出

BP

BQ

=

BC

BF

，再根据∠PBC=∠QBF，证出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，

PC

QF

=

BP

BQ

=

5

4

，再根据

QF

HQ

=

BC

AB

=

5

4

，得出

PC

QF

•

QF

HQ

=（

5

4

）²，从而求出HQ=

16

25

PC=

16

25

x，最后根据

MQ

MC

=

HQ

AC

得出y=

16 25 x

x+2

，再进行整理即可．

解答：解：（1）延长BG，交边PQ于点D，由点G是△BPQ的重心，可知PD=DQ，
延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，
∵PD=DQ，DE=BD，∠PDE=∠QDB，
∴△PDE≌△QDB，
∴PE=BQ，∠PED=∠QBD，
∵∠QBG=∠BAC，
∴∠PED=∠BAC，
∵∠PBG=∠BCA，
∴△BPE∽△CBA，
∴

BP

PE

=

BC

AB

=

5

4

，
∴

BP

BQ

=

5

4

；

（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，
∵

BP

BQ

=

5

4

，

BC

BF

=

5

4

，
∴

BP

BQ

=

BC

BF

，
∵∠PBQ=∠BAC+∠BCA，∠CBF=∠BAC+∠BCA，
∴∠PBQ=∠CBF，
∴∠PBC=∠QBF，
∴△PBC∽△QBF，
∴∠BCP=∠BFQ，

PC

QF

=

BP

BQ

=

5

4

，
∵HQ∥AC，
∴∠BHQ=∠BAC，
∴△FQH∽△CBA，
∴

QF

HQ

=

BC

AB

=

5

4

，
∴

PC

QF

•

QF

HQ

=（

5

4

）²，即

PC

HQ

=

25

16

，
∴HQ=

16

25

PC=

16

25

x，
∵HQ∥AC，
∴

MQ

MC

=

HQ

AC

，即y=

16 25 x

x+2

，
∴y关于x的函数关系式为：y=

16x

25x+50

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的重心，关键是做出辅助线，构造相似三角形．