Question

【题目】已知在中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰直角，∠DAE=90°，解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°

①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE、BD之间的位置关系为_______

②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①的结论是否仍然成立，如果不成立请说明理由，如果成立请加以证明

（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，当点D在线段BC的延长线上时，试探究：

当∠ACB=45°时（点C与点E重合除外），求：∠ECA的度数？

Answer 1

【答案】（1）①CE⊥BD；②成立；证明见解析；（2）45°

【解析】

（1）①根据∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，运用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质即可得到线段CE、BD之间的关系；

②先根据“SAS”证明，再利用全等三角形的性质即可证得①中的结论仍然成立；

（2）过点A作FA⊥AC，交BC于点F， 根据“SAS”证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题.

（1）CE⊥BD

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE

∴∠BAC-∠CAD=∠EAD-∠CAD

即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴

∴∠ACE=∠B=45°

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°

∴CE⊥BD

②答：①的结论仍然成立

证明：∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴

∴∠ACE=∠B=45°

∴∠BDE=∠ACB+∠ACE=90°

∴CE⊥BD

（2）

如图，解：作FA⊥AC，交BC于点F

∵∠ACB=45°

∴∠AFC=45°AF=AC

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE，∠ADE=∠AED=45°

∵∠FAC=∠DAE=90°

∴∠FAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

即∠FAD=∠CAE

在△FAD和△CAE中

∴

∴∠ECA=∠AFC=45°