Question

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（α不大于90°），点P为△ABC外一点，且∠APC=90°+

1

2

α，连接BP
（1）当α=60°时，∠APC=

 

，PA、PB、PC这三条线段满足的数量关系是

 

；
（2）如图2，当α=90°时，探究PA、PB、PC这三条线段满足的数量关系，并证明；
（3）用含α的式子表示PA、PB、PC三条线段满足的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）延长AP至点E，使得PE=PC，可得△PCE为等边三角形，即可求证△BCP≌△ACE，可得AE=PB，即可解题；
（2）过C作AP垂线，交AP延长线于点E，易证△BCP∽△ACE，根据对应边比例等于相似比即可求得PB和AE关系，再根据PE和PC关系即可解题；
（3）易证△ABC∽△EPC可得

AC

CE

=

BC

PC

，进而可以证明△BCP∽△ACE，可得

PB

AE

=

CP

CE

=

BC

AC

，根据等腰三角形底边和腰长的计算即可求得PE和PC的关系，即可解题．

解答：解：（1）延长AP至点E，使得PE=PC，

∵∠APC=120°，
∴∠CPE=60°，
∵PE=PC，
∴△PCE为等边三角形，
∴∠PCE=60°，CE=CP，
∵∠PCB=∠ACP+∠ACB，∠ACE=∠PCE+∠ACP，∠ACB=∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠ACE，
在△BCP和△ACE中，

AC=BC ∠BCP=∠ACE CE=CP

，
∴△BCP≌△ACE（SAS），
∴AE=BP，
∵AE=PA+PE，PE=PC，
∴PB=PA+PC；
（2）过C作AP垂线，交AP延长线于点E，

∵∠APC=90°+45°=135°，
∴∠CPE=45°，
∴CE=PE=

2

2

PC，
∵∠ACB=∠PCE=45°，
∴∠BCP=∠ACE，
∵

AC

BC

=

2

2

，
∴△BCP∽△ACE，
∴

BP

AE

=

2

，
∴PB=

2

AE=

2

（PA+PE）=

2

（PA+

2

2

PC）=

2

PA+PC；
（3）延长AP至点E，使得∠PCE=90°-

1

2

α，

∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠BCA=90°-

1

2

α，
∵∠APC=90°+

1

2

α，
∴∠CPE=90°-

1

2

α，
∴∠PCE=∠CPE=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC∽△EPC，∠BCP=∠CE，
∴

AC

BC

=

CE

PC

，即

AC

CE

=

BC

PC

，
∴△BCP∽△ACE，
∴

PB

AE

=

CP

CE

=

BC

AC

，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BC=2AC•sin

1

2

α，
同理PC=2PE•sin

1

2

α，∴PE=

PC

2•sin 1 2 α

，
∴

PB

PA+ PC 2•sin 1 2 α

=

BC

AC

=2•sin

1

2

α，
∴PB=2PA•sin

1

2

α+PC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△BCP与△ACE的全等或相似是解题的关键．