Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD²=DE•AD；
（2）求证：∠BED=∠ABC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠CED=∠ACB=90°，∠CDE=∠ADC，得到△CDE∽△ADC，列出比例式，化为等积式即可解决问题．
（2）运用（1）中的结论，证明△BDE∽△ADB，即可解决问题．

解答：证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠ACB=90°，
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD=DE：CD，
∴CD²=DE•AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD=CD；
∵CD²=DE•AD，
∴BD²=DE•AD
∴BD：AD=DE：BD；
又∵∠ADB=∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED=∠ABC．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入把握题意、大胆猜测推理、科学求解论证．