Question

2．如图，在等边三角形△ABC中，AE=CD，AD、BE交于P点，BQ⊥AD于Q，
（1）求证：BP=2PQ；
（2）连PC，若BP⊥PC，求$\frac{AP}{PQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理SAS可得△BAE≌△ACD，得∠ABE=∠CAD，即可得出∠BPQ=60°，再根据BQ⊥AD，得出BP=2PQ；
（2）根据∠ABE=∠CAD，得∠PBC=∠BAQ，利用AAS可证明△BAQ和△CBP，从而得出AP=PQ，即可得出$\frac{AP}{PQ}$的值．

解答 证明：（1）在等边△ABC中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△BAE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠ACD\\ AE=CD\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2PQ；
（2）∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABC-∠ABE=∠BAC-∠CAD，
即∠PBC=∠BAQ，
在△BAQ和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BQA=∠CPB\\∠BAQ=∠CBP\\ AB=BC\end{array}\right.$，
∴△BAQ≌△CBP（AAS），
∴AQ=BP=2PQ，
∴AP=PQ，
即$\frac{AP}{PQ}=1$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，以及等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS以及HL是解题的关键．