Question

【题目】如图，已知OA是⊙O的半径，AB为⊙O的弦，过点O作OP⊥OA，交AB的延长线上一点P，OP交⊙O于点D，连接AD，BD，过点B作⊙O的切线BC交OP于点C

(1)求证：∠CBP＝∠ADB；

(2)若O4＝4，AB＝2，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BP的长为14．

【解析】

(1)连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠ABO，得到2∠OAB+∠AOB＝180°，于是得到结论；

(2)延长AO交⊙O于E，连接BE．由圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

(1)证明：连接OB，

∵BC为⊙O的切线，

∴OB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBP＝180°﹣∠CBO，

＝180°﹣90°＝90°，

∵OB＝OA，

∴∠OAB＝∠ABO，

∵∠OAB+∠ABO+∠AOB＝180°

∴2∠OAB+∠AOB＝180°，

∵∠AOB＝2∠ADB，

∴∠ABO+∠ADB＝90°，

∴∠CBP＝∠ADB；

(2)解：延长AO交⊙O于E，连接BE．

∵AE为直径，

∴∠ABE＝90°，

∵OP⊥AO，

∴∠AOP＝90°

在Rt△ABE和Rt△AOP中，

∵∠EAB＝∠PAO，

∴Rt△ABE∽Rt△AOP，

∴，

∵AB＝2，AO＝4，AE＝8，

∴，

解得，AP＝16．

∴BP＝AP﹣AB＝16﹣2＝14．

所以BP的长为14．