Question

如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　）

• A、OA=OB
• B、OP为△AOB的角平分线
• C、OP为△AOB的高
• D、OP为△AOB的中线

Answer 1

考点：三角形的面积

专题：

分析：当点P是AB的中点时S_△AOB最小；过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，由全等三角形的性质可以得出S_{四边形AODG}=S_△AOB，S_{四边形AODG}＜S_△COD，从而求得S_△AOB＜S_△COD，即可得出结论；

解答：解：当点P是AB的中点时S_△AOB最小；
如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，
在△APG和△BPD中，

∠GAP=∠PBD AP=BP ∠APG=∠BPD

，
∴△APG≌△BPD（ASA），
S_{四边形AODG}=S_△AOB．
∵S_{四边形AODG}＜S_△COD，
∴S_△AOB＜S_△COD，
∴当点P是AB的中点时S_△AOB最小；
故选：D．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键．