Question

【题目】在平面直角坐标系中，函数图象上点的横坐标与其纵坐标的和称为点的“坐标和”，而图象上所有点的“坐标和”中的最小值称为图象的“智慧数”．如图：抛物线上有一点，则点的“坐标和”为6，当时，该抛物线的“智慧数”为0．

（1）点在函数的图象上，点的“坐标和”是 ；

（2）求直线的“智慧数”；

（3）若抛物线的顶点横、纵坐标的和是2，求该抛物线的“智慧数”；

（4）设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在一次函数的图象上；当时，抛物线的“智慧数”是2，求该抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直线“智慧数”等于；（3）抛物线的“智慧数”是；（4）抛物线的解析式为或

【解析】

（1）先求出点N的坐标，然后根据“坐标和”的定义计算即可；

（2）求出，然后根据一次函数的增减性和“智慧数”的定义计算即可；

（3）先求出抛物线的顶点坐标，即可列出关于b和c的等式，然后求出，然后利用二次函数求出y＋x的最小值即可得出结论；

（4）根据题意可设二次函数为，坐标和为，即可求出与x的二次函数关系式，求出与x的二次函数图象的对称轴，先根据已知条件求出m的取值范围，然后根据与对称轴的相对位置分类讨论，分别求出的最小值列出方程即可求出结论．

解：（1）将y=2代入到解得x=2

∴点N的坐标为（2,2）

∴点的“坐标和”是2＋2=4

故答案为：4；

（2），

∵，

∴当时，最小，

即直线，“智慧数”等于

（3）抛物线的顶点坐标为，

∴，即

∵，

∴的最小值是

∴抛物线的“智慧数”是；

（4）∵二次函数的图象的顶点在直线上，

∴设二次函数为，坐标和为

对称轴

∵

∴

①当时，即时，“坐标和”随的增大而增大

∴把代入，

得，

解得 (舍去)，，

当时，

②当，即时，

，即，

解得，

当时，

③当时，

∵，所以此情况不存在

综上，抛物线的解析式为或