Question

19．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD作垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质可得：CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

解答 证明：延长CE，交BA延长线于点F．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
在△BEF和△BEC中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DBC}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}}\right.$，
∴△BEF≌△BEC，
∴EF=EC，
即CF=2EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAF=90°
Rt△ABD中，∠ABD+∠ADB=90°，
Rt△AEF中，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ADB=∠F，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ADB=∠F}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵CF=2EC，
∴BD=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质．