Question

已知⊙O的半径OA=2，弦AB=2

2

，AC=2

3

，求∠BAC的度数．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，则根据垂径定理得到AE=

1

2

AC=

3

，AD=

1

2

AB=

2

，再根据锐角三角函数的定义，在Rt△OAE中可计算出∠OAE=30°，在Rt△OAD中计算出∠OAD=45°，然后分类讨论：当AB，AC在圆心的两侧时，∠BAC=∠OAD+∠OAE；当AB，AC在圆心的同侧时∠BAC′=∠OAD-∠OAE．

解答：解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=

1

2

AC=

3

，AD=

1

2

AB=

2

，
在Rt△OAE中，∵cos∠OAE=

AE

OA

=

3

2

，
∴∠OAE=30°，
在Rt△OAD中，∵cos∠OAD=

AD

AO

=

2

2

，
∴∠OAD=45°，
当AB，AC在圆心的两侧时，∠BAC=∠OAD+∠OAE=45°+30°=75°；
当AB，AC在圆心的同侧时∠BAC′=∠OAD-∠OAE=45°-30°=15°．
综上所述，∠BAC=15°或75°．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了锐角三角函数的定义．