Question

【题目】如图，在中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．

（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；

（2）①若四边形AFBD是矩形，则必须满足条件_________；

②若四边形AFBD是菱形，则必须满足条件_________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①AB=AC；②∠BAC=90°

【解析】

（1）先证明△AEF≌△DEC，得出AF=DC，再根据有一组对边平行且相等证明四边形AFBD是平行四边形；

（2））①当△ABC满足条件AB=AC时，可得出∠BDA=90°，则四边形AFBD是矩形；②当∠BAC=90°时，可得出AD=BD,则四边形AFBD是菱形。

解：（1）∵E是AD中点

∴AE=DE，
∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，
∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC

∴AF=DC，
∵D是BC中点，

∴BD=DC，

∴AF=BD，
又∵AF∥BC，即AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形；

（2）①当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AFBD是矩形；

理由是：

∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC,

∴ ∠BDA=90°

∵四边形AFBD是平行四边形,

∴四边形AFBD是矩形.

故答案为：AB=AC

②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形。

理由是：

∵∠BAC=90°，D是BC中点，

∴AD=BC=BD,

∵四边形AFBD是平行四边形,

∴四边形AFBD是菱形。

故答案为：∠BAC=90°