Question

抛物线y=x²+2x+2记作C，直线y=2x+1记作l，平行移动C，使它与x轴两交点间的距离为4，且与l只有一个交点，平移的方法为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：设平移后抛物线的解析式为y=x²+ax+b，设方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系得出x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，根据它与x轴两交点间的距离为4，得出（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，即a²-4b=16 ①，由y=x²+ax+b与直线l：y=2x+1只有1个交点，得出方程x²+ax+b=2x+1有两个相同的根，那么△=（a-2）²-4（b-1）=a²-4a+4-4b+4=a²-4a-4b+8=0②，再把①代入②，得16-4a+8=0，求出a=6，再求出b=5，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．

解答：解：设平移后抛物线的解析式为y=x²+ax+b，
设方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，
∵它与x轴两交点间的距离为4，
∴|x₁-x₂|=4，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴a²-4b=16 ①．
∵y=x²+ax+b与直线l：y=2x+1只有1个交点，
∴方程x²+ax+b=2x+1有两个相同的根，
整理得x²+（a-2）x+（b-1）=0，
∴△=（a-2）²-4（b-1）=a²-4a+4-4b+4=a²-4a-4b+8=0②，
把①代入②，得16-4a+8=0，
解得a=6，
∴6²-4b=16，
∴b=5，
∴解析式为y=x²+6x+5=（x+3）²-4，原来的解析式为y=（x+1）²+1，
∵3-1=2，-4-1=-5，
∴向左平移2个单位，向下平移5个单位．
故答案为向左平移2个单位，向下平移5个单位．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．