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【题目】ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F,以ECCF为邻边作ECFG.

(1)如图1,证明ECFG为菱形;

(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BGCG,并求出∠BDG的度数:

(3)如图3,若∠ABC=90°AB=6,AD=8,MEF的中点,求DM的长.

【答案】1)见解析;(2)∠BDG=60°;(3DM=5

【解析】

1)平行四边形的性质可得ADBCABCD,再根据平行线的性质证明∠CEF=CFE,根据等角对等边可得CE=CF,再有条件四边形ECFG是平行四边形,可得四边形ECFG为菱形,即可解决问题;
2)先判断出∠BEG=120°=DCG,再判断出AB=BE,进而得出BE=CD,即可判断出△BEG≌△DCGSAS),再判断出∠CGE=60°,进而得出△BDG是等边三角形,即可得出结论;

3)连接BMMC,结合题意,根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=DAF,则BE=AB=DC,因为MEF中点,所以∠CEM=ECM=45°,故∠BEM=DCM=135°,根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC,则由全等三角形的性质可得MB=MD,∠DMC=BME.结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10,故DM=5.

(1)证明:

AF平分∠BAD

∴∠BAF=DAF

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC,ABCD

∴∠DAF=CEF,∠BAF=CFE

∴∠CEF=CFE

CE=CF

又∵四边形ECFG是平行四边形,

∴四边形ECFG为菱形;

(2)结论:∵四边形ABCD是平行四边形,

ABDC,AB=DC,ADBC

∵∠ABC=120°

∴∠BCD=60°,BCF=120°

(1)知,四边形CEGF是菱形,

CE=GE,BCG=BCF=60°

CG=GE=CE,DCG=120°

EGDF

∴∠BEG=120°=DCG

AE是∠BAD的平分线,

∴∠DAE=BAE

ADBC

∴∠DAE=AEB

∴∠BAE=AEB

AB=BE

BE=CD

∴△BEG≌△DCG(SAS)

BG=DG,∠BGE=DGC

∴∠BGD=CGE

CG=GE=CE

∴△CEG是等边三角形,

∴∠CGE=60°

∴∠BGD=60°

BG=DG

∴△BDG是等边三角形,

∴∠BDG=60°

(3)如图2中,连接BMMC

∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是矩形,

又由(1)可知四边形ECFG为菱形,

ECF=90°

∴四边形ECFG为正方形.

∵∠BAF=DAF

BE=AB=DC

MEF中点,

∴∠CEM=ECM=45°

∴∠BEM=DCM=135°

在△BME和△DMC中,

BE=CD,BEM=DCMEM=CM,

∴△BME≌△DMC(SAS)

MB=MD

DMC=BME.

∴∠BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90°

∴△BMD是等腰直角三角形.

AB=6AD=8,则BD==10,∴DM=5.

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