【题目】在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作ECFG.
(1)如图1,证明ECFG为菱形;
(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数:
(3)如图3,若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中点,求DM的长.
【答案】(1)见解析;(2)∠BDG=60°;(3)DM=5
【解析】
(1)平行四边形的性质可得AD∥BC,AB∥CD,再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE,根据等角对等边可得CE=CF,再有条件四边形ECFG是平行四边形,可得四边形ECFG为菱形,即可解决问题;
(2)先判断出∠BEG=120°=∠DCG,再判断出AB=BE,进而得出BE=CD,即可判断出△BEG≌△DCG(SAS),再判断出∠CGE=60°,进而得出△BDG是等边三角形,即可得出结论;
(3)连接BM,MC,结合题意,根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=∠DAF,则BE=AB=DC,因为M为EF中点,所以∠CEM=∠ECM=45°,故∠BEM=∠DCM=135°,根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC,则由全等三角形的性质可得MB=MD,∠DMC=∠BME.结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10,故DM=5.
(1)证明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)结论:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)如图2中,连接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M为EF中点,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵BE=CD,∠BEM=∠DCM,EM=CM,
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6,AD=8,则BD==10,∴DM=5.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.
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【题目】四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1,2,3,4,把它们放入不透明的盒子中摇匀.
(1)从中随机抽出1张卡片,抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率为 .
(2)从中随机抽出1张卡片,记录数字后放回摇匀,再抽出一张卡片,记录数字.用树状图或列表法求两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(3,0),B(3,4).
(1)画出△AOB绕原点O逆时针旋转90°得到的△A'OB',并写出点A',B'的坐标;
(2)求线段AB在上述旋转过程中扫过的区域面积.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长是6,∠A=60°,E是AD的中点,F是AB边上一个动点,EG=EF且∠GEF=60°,则GB+GC的最小值是_____
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【题目】如图,在中,,以为直径作,点D在上,,,垂足为点E,与和分别交于点M、F.连接、、.
(1)证明:是的切线;
(2)若,,求的半径长;
(3)在(2)的条件下,求的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).
(1)求k的值;
(2)将这个菱形沿x轴正方向平移,当顶点D落在反比例函数图象上时,求菱形平移的距离.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P.
(1)直接写出点A,C,P的坐标.
(2)画出这个函数的图象.
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