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【题目】如图,已知:在四边形ABFC中,∠ACB=90°BC的垂直平分线EFBC于点D,交AB于点E,且CF=AE

1)试判断四边形BECF是什么四边形?并说明理由.

2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

【答案】1)四边形BECF是菱形.证明见解析;(2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.证明见解析.

【解析】

1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BEECBFFC,又因为CFAE,可通过求证EC=AEBEECBFFC,根据四边相等的四边形是菱形,证明四边形BECF是菱形;

2)当∠A45°时,可得∠EBF90°,即可得到菱形BECF是正方形.

1)四边形BECF是菱形.

证明:如图,∵BC的垂直平分线为EF

BF=FCBE=EC

∴∠1=3

∵∠ACB=90°

∴∠1+2=90°,∠3+A=90°

∴∠2=A

EC=AE

又∵CF=AEBE=EC

BE=EC=CF=BF

∴四边形BECF是菱形;

2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.

证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°
∴∠3=45°
∴∠EBF=23=90°
∴菱形BECF是正方形.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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