【题目】已知△ABC是等边三角形,点D,E分别为边AB,AC上的点,且有AE=DB,连接DE,DC.
(1)如图1,若AB=6,∠DEC=90°,求△DEC的面积.
(2)M为DE中点,当D,E分别为AB、AC的中点时,判定CD,AM的数量关系并说明理由.
(3)如图2,M为DE中点,当D,E分别为AB,AC上的动点时,判定CD,AM的数量关系并说明理由.
【答案】(1)S△DEC=4;(2)CD=2AM.理由见解析;(3)CD=2AM.理由见解析.
【解析】
(1)如图1中,设AE=BD=x.证明AD=2AE=2x,构建方程求出x即可解决问题;
(2)利用等边三角形的性质判断出CD与BC的关系,再判断出△ADE是等边三角形,进而判断出AM与BC关系即可得出结论;
(3)先判断出△BDF是等边三角形,进而得出四边形ADFE是平行四边形,再利用全等三角形的性质得出AF=CD即可得出结论.
(1)如图1中,设AE=BD=x.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵∠DEC=∠AED=90°,
∴∠ADE=30°,
∴AD=2AE=2x,DE=AE=x,
∵AB=6,
∴x+2x=6,
∴x=2,
∴AE=2,EC=4,DE=2,
∴S△DEC=DEEC=×2×4=4.
(2)结论:CD=2AM.
理由:如图2中,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵点D是AB的中点,
∴CD=BC,
∵点D,E是AB,AC的中点,
∴AD=AB,AE=AC,
∴AD=AE,
∵∠BAC=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∵点M是DE的中点,
∴AM=AD=AB=BC,
∴CD=2AM,
故答案为:CD=2AM,
(3)结论:CD=2AM.
理由:如图2中,过点D作DF∥AC交BC于F,连接EF,AF.
∴∠BDF=∠BAC=60°,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴DF=BD,
∵BD=AE,
∴DF=AE,
∵DF∥AE,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AF必过DE的中点,
∵点M是DE的中点,
∴AF过DE的中点,
∴AF=2AM,
在△ABF和△CBD中,
,
∴△ABF≌△CBD(SAS),
∴AF=CD,
∴CD=2AM.
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A. 20 B. 25 C. 30 D. 32
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(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
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求几秒后,的面积等于?
求几秒后,的长度等于?
运动过程中,的面积能否等于?说明理由.
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