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【题目】已知ABC是等边三角形,点DE分别为边ABAC上的点,且有AEDB,连接DEDC

1)如图1,若AB6,∠DEC90°,求DEC的面积.

2MDE中点,当DE分别为ABAC的中点时,判定CDAM的数量关系并说明理由.

3)如图2MDE中点,当DE分别为ABAC上的动点时,判定CDAM的数量关系并说明理由.

【答案】1SDEC4;(2CD2AM.理由见解析;(3CD2AM.理由见解析.

【解析】

1)如图1中,设AE=BD=x.证明AD=2AE=2x,构建方程求出x即可解决问题;

2)利用等边三角形的性质判断出CDBC的关系,再判断出ADE是等边三角形,进而判断出AMBC关系即可得出结论;

3)先判断出BDF是等边三角形,进而得出四边形ADFE是平行四边形,再利用全等三角形的性质得出AF=CD即可得出结论.

1)如图1中,设AEBDx

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A60°

∵∠DEC=∠AED90°

∴∠ADE30°

AD2AE2xDEAEx

AB6

x+2x6

x2

AE2EC4DE2

SDECDEEC×2×44

2)结论:CD2AM

理由:如图2中,

ABAC,∠BAC60°

∴△ABC是等边三角形,

∵点DAB的中点,

CDBC

∵点DEABAC的中点,

ADABAEAC

ADAE

∵∠BAC60°

∴△ADE是等边三角形,

∵点MDE的中点,

AMADABBC

CD2AM

故答案为:CD2AM

3)结论:CD2AM

理由:如图2中,过点DDFACBCF,连接EFAF

∴∠BDF=∠BAC60°

ABAC,∠BAC60°

∴△ABC是等边三角形,

∴∠ABC60°

∴△BDF是等边三角形,

DFBD

BDAE

DFAE

DFAE

∴四边形ADFE是平行四边形,

AF必过DE的中点,

∵点MDE的中点,

AFDE的中点,

AF2AM

ABFCBD中,

∴△ABF≌△CBDSAS),

AFCD

CD2AM.

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