Question

16．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
$（\sqrt{3}+\sqrt{1}）（\sqrt{3}-\sqrt{1}）$=2．
$（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$=2．
$（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）$=2．
…
（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；
（2）求$\frac{1}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{121}+\sqrt{119}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答 解：（$\sqrt{3}$+$\sqrt{1}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{1}$）=2；
（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）=2；
（$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$）（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$）=2，
故答案为：2；2；2；
（1）以此类推，（$\sqrt{2n+1}$+$\sqrt{2n-1}$）（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）=2，
整理得：等式左边=（$\sqrt{2n+1}$）²-（$\sqrt{2n-1}$）²=2n+1-2n+1=2=右边；
（2）原式=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{121}$-$\sqrt{119}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{121}$-1）=5．

点评 此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．