Question

3．如图，点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、…、A₂₀₁₅在x轴的正半轴上，点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、…、B₂₀₁₅在双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，若△A₁B₁O、△A₂B₂A₁、△A₃B₃A₂、△A₄B₄A₃、△A₅B₅A₄、…、△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄均为等边三角形，求△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄的边长．

Answer 1

分析 先求出OA₁、OA₂、OA₃，探究规律归纳得出OA_n即可解决问题．

解答 解：设等边三角形△OB₁A₁的边长为a，则B₁坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∵B₁在反比例函数图象上，
∴$\frac{a}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\sqrt{3}$，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴OA₁=2，设等边三角形△A₁B₂A₂的边长为b，则B₂（2+$\frac{b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b$），
∴（2+$\frac{b}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\sqrt{3}$，
解得b=2$\sqrt{2}$-2，OA₂=2$\sqrt{2}$，设等边三角形△A₂B₃A₃的边长为c，在则B₃（2$\sqrt{2}$+$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
∴（2$\sqrt{2}$+$\frac{c}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\sqrt{3}$，
解得c=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
∴OA₃=2$\sqrt{3}$
综上所述：OA₁=2，OA₂=2$\sqrt{2}$，OA₃=2$\sqrt{3}$…OA_n=2$\sqrt{n}$，
则△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄的边长为2$\sqrt{2015}$-2$\sqrt{2014}$．

点评 本题考查反比例函数的有关知识、等边三角形的性质、解题的关键是从一般到特殊探究规律后解决问题，属于中考常考题型．