[题目]已知抛物线经过原点O及点A和点B．(1)求抛物线的解析式,(2)如图1.设抛物线的对称轴与x轴交于点C.将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l.若直线l经过B点.与y轴交于点D.且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点.且PB=PE.求点P的坐标,(3)如图2.将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线.直接写出下列两个问题的答案:①直线至少向上平移多少个单位才能� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知抛物线经过原点O及点A和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过B点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：

①直线至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？

②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是多少？

【答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3）①8；②.

【解析】试题分析：（1）首先由抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，得出c=0，那么抛物线的解析式为y=ax2+bx，再把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax2+bx，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）先由“上加下减”的平移规律得出直线l的解析式为y=-2x-n，将点B（-2，3）代入，求出n=1，那么直线l的解析式为y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到点D（0，-1）是线段BE的中点．由CE=CB=5，PB=PE，得出点P是直线CD与该抛物线的交点．再用待定系数法求出CD的解析式为y=x-1，将它与抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）由“上加下减”的平移规律得出新抛物线的解析式为y=x2-x+9．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，将y=-2x+t代入y=x2-x+9，得x2+x+9-t=0，由△=12-4×（9-t）≥0，求出t≥8，那么t的最小值即为所求；
②先求出新抛物线与直线y=-2x+8的交点坐标，根据题意得出点Q的坐标，到直线y=-2x的距离最短．过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．

试题解析：（1）依题意得解得：，．

∴抛物线的解析式为．

（2）设直线l的解析式为，∵直线l过点B，∴．

∴直线l的解析式为，∴D．

∵抛物线的对称轴为，∴C，E．

∴点D是线段BE的中点．

又∵CE=CB=5，∴CD垂直平分BE．

∵PB=PE，∴点P是抛物线与直线CD的交点．

易求CD的解析式为，

由解得

∴点P的坐标为或．

（3）①直线至少向上平移8个单位才能与新抛物线有交点；

②新抛物线上的动点Q到直线的最短距离是 .

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