Question

如图，△ABC内接⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，若AC=24，AF=15，求圆的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，作辅助线，构造全等三角形；证明△OCF≌△QAF，进而证明△AOF为直角三角形；运用垂径定理及射影定理即可解决问题．

解答：解：如图，连接OC；
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC；
又∵OF∥BC，
∴OF⊥AC，
∴AE=CE=12（垂径定理），
∴FC=FA；
在△OCF与△OAF中，

OC=OA OF=OF FC=FA

，
∴△OCF≌△OAF（SSS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OAF=∠OCF=90°，
由勾股定理得：
EF²=FA²-AE²=15²-12²，
∴EF=9；
由射影定理得：AE²=OE•EF，
∴OE=

122

9

=16
又∵OA²=OE•OF=16×（16+9），
∴OA=20，
即⊙O的半径为20．

点评：该命题以圆为载体，以考查切线的性质、勾股定理、射影定理等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关知识点来分析、判断、计算或推理．