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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=30°AB=AC,将线段AC绕点A逆时针旋转α°0α180),得到线段AD,连接BD,交AC于点P

1)当α=90时,

①依题意补全图形;

②求证:PD=2PB

2)写出一个α的值,使得PD=PB成立,并证明.

【答案】1)①见解析;②见解析;(2)当α=60°(120°)时,PD=PB证明见解析

【解析】

1)当α=90°时,①依题意即可补全图形;
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB
2)当α的值为60(或120)度时,根据相似三角形的性质即可证明PD=PB成立.

1)①如图

②∵ACADABAC

ABAD,∠ABD=∠ADB

又∵∠BAC30°,∠BAD90°

∴∠ABD=∠ADB30°

APBP

RtAPD中,∠ADB30°

PD2AP

PD2PB

2)当α=60°(120°)时,PD=PB

情况:当α=60°时,过点DDFAC,垂足为点F,过点BBEAC,垂足为点E

DFBE

∴△DFP∽△BEP

RtABE中,∠BAC30°

AC2BE

RtADF中,∠CAD60°

ADDF

又∵ADACAB

2BEDE,即BEDF

PBPD

情况:当α=120°时,过点DDFAC,交CA的延长线于点F 过点BBEAC,垂足为点E

DFBE

∴△DFP∽△BEP

RtABE中,∠BAC30°

AC2BE

RtADF中,∠FAD60°

ADDF

又∵ADACAB

2BEDE,即BEDF

PBPD

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