【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,将线段AC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180),得到线段AD,连接BD,交AC于点P.
(1)当α=90时,
①依题意补全图形;
②求证:PD=2PB;
(2)写出一个α的值,使得PD=PB成立,并证明.
【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)当α=60°(或120°)时,PD=PB,证明见解析
【解析】
(1)当α=90°时,①依题意即可补全图形;
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB;
(2)当α的值为60(或120)度时,根据相似三角形的性质即可证明PD=PB成立.
(1)①如图
②∵AC=AD,AB=AC
∴AB=AD,∠ABD=∠ADB
又∵∠BAC=30°,∠BAD=90°
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴AP=BP
在Rt△APD中,∠ADB=30°
∴PD=2AP
∴PD=2PB
(2)当α=60°(或120°)时,PD=PB
情况Ⅰ:当α=60°时,过点D作DF⊥AC,垂足为点F,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,
∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中,∠BAC=30°
∴AC=2BE
在Rt△ADF中,∠CAD=60°
∴AD=DF
又∵AD=AC=AB
∴2BE=DE,即BE=DF
∴PB=PD
情况Ⅱ:当α=120°时,过点D作DF⊥AC,交CA的延长线于点F, 过点B作BE⊥AC,垂足为点E,
∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中,∠BAC=30°
∴AC=2BE
在Rt△ADF中,∠FAD=60°
∴AD=DF
又∵AD=AC=AB
∴2BE=DE,即BE=DF
∴PB=PD
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,, ,...都是等腰直角三角形,其直角顶点,,,...均在直线上,设,,,...的面积分别为,,,...,依据图形所反映的规律,S2020=__________.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC(顶点是网格线的交点)和格点O.
(1)平移ABC,使得点A与点O重合,画出平移后的A′B′C′;
(2)画出ABC关于点O对称的DEF;
(3)判断A′B′C′与DEF是否成中心对称?
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【题目】如图,抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),直线与抛物线交于两点,其中点的横坐标为2.
(1)求A,B两点的坐标及直线AC的表达式;
(2)P是线段AC上一动点(P与A,C不重合),过点P作轴的平行线交抛物线于点E,求面积的最大值;
(3)点H是抛物线上一动点,在轴上是否存在点F,使得四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,AC是⊙O的直径.
(1)若∠ACB=70°,求∠APB的度数;
(2)连接OP,若AB=8,BC=6,求OP的长.
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【题目】如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图.
(1)根据图1,计算该区1500名学生的近视率;
(2)根据图2,从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势;
(3)根据图1、图2、图3,描述该区1500名学生近视率和所在学段(小学、初中)、每节课课间户外活动平均时长的关系.
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【题目】某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况,采取全面调查的方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)九(1)班的学生人数为 ,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中m= ,n= ,表示“足球”的扇形的圆心角是 度;
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女,现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队,请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率.
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【题目】如图,单位长度为的网格坐标系中,一次函数与坐标轴交于、两点,反比例函数经过一次函数上一点.
(1)求反比例函数解析式,并用平滑曲线描绘出反比例函数图像;
(2)依据图像直接写出当时不等式的解集;
(3)若反比例函数与一次函数交于、两点,在图中用直尺与铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:
①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点、点;
②矩形的面积等于的值.
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