Question

【题目】如图，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=5，BF=8，AD=，则ABCD的面积是______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）36.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，从而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；（2）过A作AH⊥BE，根据菱形的性质可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后可得ABCD的面积．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AB=AF，

∴AF=BE，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF

∴四边形ABEF是菱形．

（2）过A作AH⊥BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，

∵BF=8，

∴BO=4，

∴AO==3，

∴AE=6，

∴S菱形ABEF=AEBF=×6×8=24，

∴BEAH=24，

∴AH=，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=，

∴S平行四边形ABCD=×=36，

故答案为：36．