【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a<0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.
(1)当a=﹣1时,求抛物线顶点D的坐标,OE等于多少;
(2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;
(3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a的取值范围;
(4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.
【答案】(1)(﹣1,4),3;(2)结论:OE的长与a值无关.理由见解析;(3)﹣≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).
【解析】
(1)求出直线CD的解析式即可解决问题;
(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断;
(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断;
(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.两条全等三角形的性质即可解决问题.
解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,
∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
(2)结论:OE的长与a值无关.
理由:∵y=ax2+2ax﹣3a,
∴C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a,
当y=0时,x=3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
∴OE的长与a值无关.
(3)当β=45°时,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
当β=60°时,在Rt△OCE中,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣,
∴45°≤β≤60°,a的取值范围为﹣≤a≤﹣1.
(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.
∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,
∴∠DPM=∠EPN,
∴△DPM≌△EPN,
∴PM=PN,PM=EN,
∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),
∴EN=4+n=3﹣m,
∴n=﹣m﹣1,
当顶点D在x轴上时,P(1,﹣2),此时m的值1,
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴m<1.
∴n=﹣m﹣1(m<1).
故答案为:(1)(﹣1,4),3;(2)OE的长与a值无关;(3)﹣≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴,y轴分别交于点A,点C,过点A作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B.
(1)线段AB,BC,AC的长分别为AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折叠图1中的△ABC,使点A与点C重合,再将折叠后的图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2.
请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题.
A:①求线段AD的长;
②在y轴上,是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
B:①求线段DE的长;
②在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
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【题目】已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,如图1,连接.
(1)填空: ;
(2)如图1,连接,作,垂足为,求的长度;
(3)如图2,点,同时从点出发,在边上运动,沿路径匀速运动,沿路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点的运动速度为1.5单位秒,点的运动速度为1单位秒,设运动时间为秒,的面积为,求当为何值时取得最大值?最大值为多少?
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【题目】如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:
第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;
第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;
第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;
(2)所画图形是什么对称图形;
(3)求所画图形的周长(结果保留π).
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
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【题目】如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°,点A、B、C三点在同一水平线上.
(1)计算古树BH的高;
(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:≈14,≈1.7)
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点,且B点的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点,P点是x轴上一动点,当PA+PB最小时,P点的坐标为_______.
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【题目】(9分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月销量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 元;②月销量是 件;(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
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