Question

如图，等腰三角形ABO的斜边OB在x轴上，O是坐标原点，点A在第一象限内，OB=2，点C是线段OB上一动点（不与O、B重合），△OAC的外接圆P与y轴的另一交点为D，求线段CD长度的最小值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接PA，AC，作AH⊥OB，如图，设⊙P的半径为R，由于∠DOC=90°，根据圆周角定理得到DC为⊙P的直径，则有DC=2R，再根据等腰直角三角形的性质得到∠AOB=90°，AH=

1

2

OB=1，于是利用圆周角定理得到∠APC=2∠AOC=90°，则可判断△PAC为等腰直角三角形，所以AC=

2

R；由于要使CD最小，则R最小，而AC最小时，R最小，此时AC=AH=1，即R=

2

2

，于是得到线段CD长度的最小值=

2

．

解答：解：连接PA，AC，作AH⊥OB，如图，设⊙P的半径为R，
∵∠DOC=90°，
∴DC为⊙P的直径，
∴DC=2R，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，AH=

1

2

OB=1，
∴∠APC=2∠AOC=90°，
而PA=PC=R，
∴AC=

2

R，
当R最小时，CD最小，
而AC最小时，R最小，此时AC=AH=1，即

2

R=1，R=

2

2

，
∴线段CD长度的最小值=2×

2

2

=

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理；会运用等腰直角三角形的性质计算角度和线段的长．